Gli interessi di ricerca del gruppo sono nell'ambito della teoria dei punti fissi, della teoria dei punti critici, della teoria delle equazioni differenziali, dell'analisi numerica dei processi e, più in generale, della modellizzazione matematica. La teoria dei punti fissi desta un notevole interesse per le sue applicazioni in vari ambiti che includono la matematica, l'economia e l'ingegneria. Infatti, le tecniche proprie della teoria dei punti fissi sono utili nella teoria della migliore approssimazione di operatori lineari e non lineari, nello studio della stabilità di sistemi dinamici e nella soluzione di problemi integro-differenziali. D'altra parte, una linea di ricerca del gruppo è finalizzata alla determinazione dell'esistenza e della molteplicità di soluzioni di problemi differenziali non lineari, utilizzando metodi variazionali e teoremi di punto critico. Più precisamente si sono studiati problemi di Sturm-Liouville e problemi contenenti il p-Laplaciano con condizioni miste al bordo, sotto opportune ipotesi sul termine non lineare, si sono ottenute l'esistenza di tre soluzioni, due soluzioni e di infinite soluzioni. Si studiano sistemi contenenti il (p,q)-Laplaciano con condizioni di Dirichlet e generalizzazioni a sistemi Hamiltoniani. Inoltre, si studiano l'esistenza e la molteplicità di soluzioni (con prescritte proprietà nodali), per problemi ai limiti associati ad equazioni differenziali ordinarie nonlineari, utilizzando metodi topologici e di “shooting”, tecniche di biforcazione, teoria degli autovalori con peso, i concetti di numero di rotazione, indici di Maslov e Morse. Ulteriori ricerche riguardano lo studio del comportamento asintotico di soluzioni radiali di equazioni di Laplace superlineari e si basano sulla teoria delle varietà invarianti e sulle trasformazioni di tipo Fowler. L'attività di ricerca riguarda anche la soluzione numerica di equazioni differenziali alle derivate parziali e l'elaborazione numerica delle immagini. Più precisamente, detta attività di ricerca è rivolta principalmente alla soluzione numerica di equazioni differenziali alle derivate parziali (PDEs) mediante metodi numerici basati sulla discretizzazione del dominio del problema con e senza nodi di calcolo (in quest’ultimo caso si parla di metodi meshfree). Tra i metodi meshfree di tipo particellare, il metodo Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH), si è rivelato uno strumento di soluzione e simulazione particolarmente efficiente e flessibile. Esso permette di valutare le grandezze proprie del problema in esame e i relativi operatori differenziali mediante una rappresentazione integrale basata su un’opportuna funzione kernel (smoothing kernel function) la quale, nella sua formulazione discreta, coinvolge un insieme di particelle (o nodi) distribuite nel dominio del problema. Due aspetti fondamentali che caratterizzano fortemente il metodo sono proprio la smoothing kernel function e la distribuzione delle particelle. La loro scelta può portare alla cosiddetta inconsistenza particellare causando una perdita di accuratezza nell’approssimazione delle soluzioni per evitare la quale sono state messe a punto diverse strategie correttive. Il focus della ricerca è pertanto stato sul comportamento numerico dell’SPH relativamente alle tecniche per ripristinare la consistenza e alla scelta della distribuzione particellare più opportuna, permettendo di scoprire come questi due aspetti influenzino la bontà dell’approssimazione e inoltre come essi si influenzino mutuamente. Particolare attenzione è pertanto stata rivolta all’analisi dell’accuratezza, della
consistenza, dell’efficienza e dell’adattività dello schema numerico in esame. La ricerca è stata inoltre mirata alla formulazione di una nuova versione del metodo SPH per la soluzione di problemi di natura non idrodinamica come quelli governati dall’equazioni di Poisson ed è stata messa a punto una versione del metodo SPH nel contesto dell’elaborazione delle immagini digitali e per risolvere problemi di formatura dei metalli. Nel contesto dell’Image Processing (IP), diverse tecniche lavorano con dati “scatterati” utilizzando metodi basati su griglie fisse di calcolo che portano a frequenti problemi di natura numerica. Pe risolvere questo problema, è stato realizzato un metodo numerico che evita la generazione della mesh. In particolare è stato proposto un nuovo metodo, detto Smoothed Particle Image Reconstruction (SPIR), innovativo nel contesto della ricostruzione delle immagini, grazie anche all’introduzione di nuove idee per migliorarne l’efficienza computazionale e l’accuratezza numerica. Sempre nel contesto dell’IP, è stato investigato un metodo efficiente per stimare il campo dei vettori velocità di un’immagine. Il metodo è basato su un operatore quasi-quasiinterpolante e coinvolge una notevole mole di calcoli prestandosi così all’utilizzo di ambienti di calcolo ad alte prestazioni che è risultato fondamentale per affrontare problemi ad elevata complessità garantendo un buon livello di dettaglio nella modellizzazione matematica. Infine, un’opportuna rivisitazione del metodo SPH ha permesso di estenderne l’utilizzo all’ambito dell’ingegneria meccanica per la soluzione di problemi di formatura dei metalli. Il gruppo ha anche interessi di ricerca su funzioni reali, modelli di evoluzione in biomatematica e storia dell’analisi numerica e del calcolo scientifico. Tale recente linea di ricerca ha visto lo studio, secondo una prospettiva storica, del lavoro pioneristico nel contesto dell’analisi numerica delle PDEs di due matematici italiani, Mauro Picone (1885–1977) e Sandro Faedo (1913–2001).